Différences
Ci-dessous, les différences entre deux révisions de la page.
| Les deux révisions précédentes Révision précédente Prochaine révision | Révision précédente | ||
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fr:vulgarisation:series-divergentes [2016/09/10 22:51] apeiron |
fr:vulgarisation:series-divergentes [2018/02/16 01:25] (Version actuelle) |
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| - | //Les développements récents me poussent à refaire la rédaction de cette page, ce qui devrait arriver dans les jours à venir...// | + | // Au départ ce billet était un article de vulgarisation, qui s'est transformé en brouillon de recherche au fur et à mesure que j'avançais mes idées et que je découvrais celles des autres. Il mériterait une refonte, quand j'en prendrai le temps. // |
| ====== Introduction ====== | ====== Introduction ====== | ||
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| $$u' = a_{n-k}e^{n-k}(u') + ... + a_1e^1(u') + C'$$ | $$u' = a_{n-k}e^{n-k}(u') + ... + a_1e^1(u') + C'$$ | ||
| Or, par stabilité $u' = u$, donc cette équation permet d'obtenir le résultat avec seulement $n-k < n$ applications de $e$, ce qui contredit la minimalité de $n$. | Or, par stabilité $u' = u$, donc cette équation permet d'obtenir le résultat avec seulement $n-k < n$ applications de $e$, ce qui contredit la minimalité de $n$. | ||
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| + | (//Edit du 13/09 :// En faisant remonter $e^k$ au dessus des séries convergentes et de la linéarité, cela revient à dire que $e^k(u - (a_{n-k}e^{n-k}(u) + ... + a_1e^1(u) + C)) = 0$, donc en supposant que $e(v) = 0 \Rightarrow v = 0$, nous avons bien $u = a_{n-k}e^{n-k}(u) + ... + a_1e^1(u) + C'$, et c'est cela qui contredit la minimalité de $n$.) | ||
| D'où $a_0 \not= 1$, et nous pouvons((Il n'est pas possible d'utiliser le même argument pour contredire la minimalité de $n$ à cause du $u$ au lieu du $0$ dans le membre de gauche.)) récrire l'équation : | D'où $a_0 \not= 1$, et nous pouvons((Il n'est pas possible d'utiliser le même argument pour contredire la minimalité de $n$ à cause du $u$ au lieu du $0$ dans le membre de gauche.)) récrire l'équation : | ||
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| **Ainsi, à moins d'une erreur dans mon raisonnement, les séries divergentes sommables de façon unique par linéarité, stabilité et régularité sont précisément les suites définies par récurrence linéaire non barycentriques à une série convergente près.** | **Ainsi, à moins d'une erreur dans mon raisonnement, les séries divergentes sommables de façon unique par linéarité, stabilité et régularité sont précisément les suites définies par récurrence linéaire non barycentriques à une série convergente près.** | ||
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| + | //Notez que je restreins les moyens utilisables, car pour moi la question est de pouvoir caractériser l'ensemble des séries divergentes donnant des valeurs cohérentes en utilisant exactement ces trois règles. L'appel constant au constructivisme de la réponse peut cependant surprendre, et je serai ravi d'en discuter dans les commentaires de la vidéo ;)// | ||