Différences
Ci-dessous, les différences entre deux révisions de la page.
| Les deux révisions précédentes Révision précédente Prochaine révision | Révision précédente | ||
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fr:vulgarisation:series-divergentes [2016/09/10 22:24] apeiron |
fr:vulgarisation:series-divergentes [2018/02/16 01:25] (Version actuelle) |
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| - | //Les développements récents me poussent à refaire la rédaction de cette page, ce qui devrait arriver dans les jours à venir...// | + | // Au départ ce billet était un article de vulgarisation, qui s'est transformé en brouillon de recherche au fur et à mesure que j'avançais mes idées et que je découvrais celles des autres. Il mériterait une refonte, quand j'en prendrai le temps. // |
| ====== Introduction ====== | ====== Introduction ====== | ||
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| * $t_1 = t_2 \rightarrow t_1 + C = t_2 + C$ où $C$ est une série | * $t_1 = t_2 \rightarrow t_1 + C = t_2 + C$ où $C$ est une série | ||
| * $t_1 = t_2 \rightarrow \alpha t_1 = \alpha t_2$ où $\alpha$ est un réel | * $t_1 = t_2 \rightarrow \alpha t_1 = \alpha t_2$ où $\alpha$ est un réel | ||
| - | * $t_1 = t_2 \rightarrow t_1= t_3$ où $t_3$ est obtenu par linéarité à partir de $t_2$, ou $t_3 = e(t_2)$((e consiste à rajouter un zéro devant la suite.)). | + | * $t_1 = t_2 \rightarrow t_1= t_3$ où $t_3$ est obtenu par linéarité à partir de $t_2$, ou $t_3 = e(t_2)$(($e$ consiste à rajouter un zéro devant la suite.)). |
| Comme nous partons de $u = u$ pour arriver à $u = C$, le terme $t_1$ devra rester globalement constant. En fait, la seule succession d'opérations permettant de le modifier momentanément pour ensuite y revenir est : | Comme nous partons de $u = u$ pour arriver à $u = C$, le terme $t_1$ devra rester globalement constant. En fait, la seule succession d'opérations permettant de le modifier momentanément pour ensuite y revenir est : | ||
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| pour $\alpha \not=1$, bien sûr. En effet, les autres possibilités avec les règles données ne permettent que de retomber sur l'équation de départ. En remontant depuis le résultat $u = C$, cette succession d'opération ne permet que de faire apparaître plus haut une équation de la forme $u = \alpha u + (1 - \alpha)C$, donc une occurrence de la série avec un coefficient, et une série convergente. | pour $\alpha \not=1$, bien sûr. En effet, les autres possibilités avec les règles données ne permettent que de retomber sur l'équation de départ. En remontant depuis le résultat $u = C$, cette succession d'opération ne permet que de faire apparaître plus haut une équation de la forme $u = \alpha u + (1 - \alpha)C$, donc une occurrence de la série avec un coefficient, et une série convergente. | ||
| - | Les autres transformations ont été obtenues en modifiant le terme à droite. Nous supposons qu'il a été possible d'obtenir un résultat unique $u = C$ en partant de l'équation initiale $u = u$. Le membre droit construit construit pour arriver à ce résultat n'a pu utiliser que $u$, des séries convergentes, des applications successives de $e$ et la linéarité. Notamment, il n'y a qu'un nombre fini $n$ d'applications de $e$. | + | Les autres transformations ont été obtenues en modifiant le terme à droite. Nous supposons qu'il a été possible d'obtenir un résultat unique $u = C$ en partant de l'équation initiale $u = u$. Le membre droit construit pour arriver à ce résultat n'a pu utiliser que $u$, des séries convergentes, des applications successives de $e$ et la linéarité. Notamment, il n'y a qu'un nombre fini $n$ d'applications de $e$. |
| Notez que pour toutes suites $v$ et $w$ nous avons que $e(\alpha v + \beta w) = \alpha e(v) + \beta e(w)$ donc il est possible de faire rentrer les applications successives de $e$ à l'intérieur des multiplications et sommes. De plus, les séries convergentes sont stables par linéarité et stabilité. Donc ce membre droit est nécessairement de la forme : | Notez que pour toutes suites $v$ et $w$ nous avons que $e(\alpha v + \beta w) = \alpha e(v) + \beta e(w)$ donc il est possible de faire rentrer les applications successives de $e$ à l'intérieur des multiplications et sommes. De plus, les séries convergentes sont stables par linéarité et stabilité. Donc ce membre droit est nécessairement de la forme : | ||
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| * Si $a_n + ... + a_1 \not= 0$ alors au moins l'un des $a_i$ est non nul. Soit $k$ le plus petit des $i$ tel que $a_i$ est non nul. Ainsi, nous obtenons une équation de la forme $a_ne^n(u) + ... + a_ke^k(u) + C = 0$ avec $k \ge 1$ et $a_k \not= 0$. Donc $e^k(u) = \frac{a_n}{a_k}e^n(u) + ... + \frac{a_{k+1}}{a_k}e^{k+1}(u) + \frac{C}{a_k}$. En notant $u' = e^k(u)$ et $C' = \frac{C}{a_k}$ nous obtenons une nouvelle équation : | * Si $a_n + ... + a_1 \not= 0$ alors au moins l'un des $a_i$ est non nul. Soit $k$ le plus petit des $i$ tel que $a_i$ est non nul. Ainsi, nous obtenons une équation de la forme $a_ne^n(u) + ... + a_ke^k(u) + C = 0$ avec $k \ge 1$ et $a_k \not= 0$. Donc $e^k(u) = \frac{a_n}{a_k}e^n(u) + ... + \frac{a_{k+1}}{a_k}e^{k+1}(u) + \frac{C}{a_k}$. En notant $u' = e^k(u)$ et $C' = \frac{C}{a_k}$ nous obtenons une nouvelle équation : | ||
| $$u' = a_{n-k}e^{n-k}(u') + ... + a_1e^1(u') + C'$$ | $$u' = a_{n-k}e^{n-k}(u') + ... + a_1e^1(u') + C'$$ | ||
| - | Or, par stabilité $u' = u$, donc cette équation permet d'obtenir le résultat avec seulement $n-k < n$ applications de $e$, ce qui contredit la minimalité de $e$. | + | Or, par stabilité $u' = u$, donc cette équation permet d'obtenir le résultat avec seulement $n-k < n$ applications de $e$, ce qui contredit la minimalité de $n$. |
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| + | (//Edit du 13/09 :// En faisant remonter $e^k$ au dessus des séries convergentes et de la linéarité, cela revient à dire que $e^k(u - (a_{n-k}e^{n-k}(u) + ... + a_1e^1(u) + C)) = 0$, donc en supposant que $e(v) = 0 \Rightarrow v = 0$, nous avons bien $u = a_{n-k}e^{n-k}(u) + ... + a_1e^1(u) + C'$, et c'est cela qui contredit la minimalité de $n$.) | ||
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| + | D'où $a_0 \not= 1$, et nous pouvons((Il n'est pas possible d'utiliser le même argument pour contredire la minimalité de $n$ à cause du $u$ au lieu du $0$ dans le membre de gauche.)) récrire l'équation : | ||
| + | $$u = a_ne^n(u) + ... + a_1e^1(u) + a_0e^0(u) + C$$ | ||
| + | $$(1 - a_0)u = a_ne^n(u) + ... + a_1e^1(u) + C$$ | ||
| + | $$u = \frac{a_n}{1 - a_0}e^n(u) + ... + \frac{a_1}{1 - a_0}e^1(u) + \frac{C}{1 - a_0}$$ | ||
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| + | Dit autrement, en renommant les variables et en récrivant l'équation : | ||
| + | $$u = a_ne^n(u) + ... + a_1e^1(u) + C$$ | ||
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| + | Ainsi, une telle suite est bien définie par récurrence linéaire. Il ne reste qu'à montrer par l'absurde que $a_n + ... + a_1 \not= 1$. En effet, si $a_n + ... + a_1 = 1$ alors par stabilité $\ell = 1 \times \ell + C$ donc $C = 0$. Nous avons donc uniquement $\ell = 1 \times \ell$, ce qui ne permet en rien de trouver le résultat. Or, c'était cette équation qui était censée nous donner le résultat. D'où la contradiction attendue. | ||
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| + | **Ainsi, à moins d'une erreur dans mon raisonnement, les séries divergentes sommables de façon unique par linéarité, stabilité et régularité sont précisément les suites définies par récurrence linéaire non barycentriques à une série convergente près.** | ||
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| + | //Notez que je restreins les moyens utilisables, car pour moi la question est de pouvoir caractériser l'ensemble des séries divergentes donnant des valeurs cohérentes en utilisant exactement ces trois règles. L'appel constant au constructivisme de la réponse peut cependant surprendre, et je serai ravi d'en discuter dans les commentaires de la vidéo ;)// | ||