Différences
Ci-dessous, les différences entre deux révisions de la page.
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fr:vulgarisation:series-divergentes [2016/05/19 16:55] apeiron |
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| + | // Au départ ce billet était un article de vulgarisation, qui s'est transformé en brouillon de recherche au fur et à mesure que j'avançais mes idées et que je découvrais celles des autres. Il mériterait une refonte, quand j'en prendrai le temps. // | ||
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| ====== Introduction ====== | ====== Introduction ====== | ||
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| Note : Comparer la sommation d'abel avec [[https://fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_de_Dirichlet|celle de Dirichlet]]. | Note : Comparer la sommation d'abel avec [[https://fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_de_Dirichlet|celle de Dirichlet]]. | ||
| - | Le problème maintenant est sans la régularité ou la linéarité il devient difficile de faire des calculs... Peut-être qu'il existe des sous-classes des séries divergentes où seules certaines règles sont cohérentes. Ainsi, $\sum\limits_{n \ge 0}n$ ne serait pas dans la classe des séries utilisant la stabilité et la linéarité, mais les séries géométriques si. Et $\sum\limits_{n \ge 0}1$ ne serait pas dans la classe des séries utilisant la stabilité car $\sum\limits_{n \ge 0}1 = 1 + \sum\limits_{n \ge 0}1$.Et ce serait intéressant du coup de caractériser les séries convergences parmi les familles des séries divergentes. | + | Le problème maintenant est sans la régularité ou la linéarité il devient difficile de faire des calculs... Peut-être qu'il existe des sous-classes des séries divergentes où seules certaines règles sont cohérentes. Ainsi, $\sum\limits_{n \ge 0}n$ ne serait pas dans la classe des séries utilisant la stabilité et la linéarité, mais les séries géométriques si. Et $\sum\limits_{n \ge 0}1$ ne serait pas dans la classe des séries utilisant la stabilité car $\sum\limits_{n \ge 0}1 = 1 + \sum\limits_{n \ge 0}1$.Et ce serait intéressant du coup de caractériser les séries convergences parmi les familles des séries divergentes. Il faudra prouver que chaque classe de séries est close pour les règles de calcul qui y sont autorisées.... |
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| + | J'ai beaucoup apprécié l'approche de [[https://www.youtube.com/watch?v=XFDM1ip5HdU|3Blue1Brown]] pour vulgariser le processus de découverte/invention autour des séries divergentes. | ||
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| + | ====== Réponse à Science4All ====== | ||
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| + | Dans [[https://www.youtube.com/watch?v=IghfFlXK__U|une de ses vidéos]], Science4All montre que les suites définies par récurrence linéaire non barycentriques à une série convergente près peuvent être sommées de façon unique en respectant la linéarité, la stabilité et la régularité. De plus, il a défié la communauté de pouvoir prouver la réciproque, à savoir qu'il n'y a pas d'autre suite pouvant être sommée de façon unique par ces règles. Je pense avoir une preuve... | ||
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| + | Prenons une suite $(x_n)$ et supposons qu'il est possible en utilisant seulement ces trois règles de pouvoir déterminer une valeur unique à la série $u = \sum x^n$. Cela revient donc de passer de l'équation initiale $u = u$ à l'équation $u = C$ où $C$ est une série convergente. Ensuite, par régularité une valeur réelle a pu être attribuée à la série divergente $\sum x^n = \ell$. Pour travailler avec les équations, nous ne nous autoriserons qu'à ajouter des deux côtés une même série, ou à multiplier chaque côté par un scalaire. Plus formellement, l'ensemble de règles utilisé est : | ||
| + | * $t_1 = t_2 \rightarrow t_1 + C = t_2 + C$ où $C$ est une série | ||
| + | * $t_1 = t_2 \rightarrow \alpha t_1 = \alpha t_2$ où $\alpha$ est un réel | ||
| + | * $t_1 = t_2 \rightarrow t_1= t_3$ où $t_3$ est obtenu par linéarité à partir de $t_2$, ou $t_3 = e(t_2)$(($e$ consiste à rajouter un zéro devant la suite.)). | ||
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| + | Comme nous partons de $u = u$ pour arriver à $u = C$, le terme $t_1$ devra rester globalement constant. En fait, la seule succession d'opérations permettant de le modifier momentanément pour ensuite y revenir est : | ||
| + | $$u = \alpha u + t$$ | ||
| + | $$u - \alpha u = t$$ | ||
| + | $$(1 - \alpha)u = t$$ | ||
| + | $$u = \frac{t}{(1 - \alpha)}$$ | ||
| + | pour $\alpha \not=1$, bien sûr. En effet, les autres possibilités avec les règles données ne permettent que de retomber sur l'équation de départ. En remontant depuis le résultat $u = C$, cette succession d'opération ne permet que de faire apparaître plus haut une équation de la forme $u = \alpha u + (1 - \alpha)C$, donc une occurrence de la série avec un coefficient, et une série convergente. | ||
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| + | Les autres transformations ont été obtenues en modifiant le terme à droite. Nous supposons qu'il a été possible d'obtenir un résultat unique $u = C$ en partant de l'équation initiale $u = u$. Le membre droit construit pour arriver à ce résultat n'a pu utiliser que $u$, des séries convergentes, des applications successives de $e$ et la linéarité. Notamment, il n'y a qu'un nombre fini $n$ d'applications de $e$. | ||
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| + | Notez que pour toutes suites $v$ et $w$ nous avons que $e(\alpha v + \beta w) = \alpha e(v) + \beta e(w)$ donc il est possible de faire rentrer les applications successives de $e$ à l'intérieur des multiplications et sommes. De plus, les séries convergentes sont stables par linéarité et stabilité. Donc ce membre droit est nécessairement de la forme : | ||
| + | $$a_ne^n(u) + ... + a_0e^0(u) + C$$ | ||
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| + | Il est peut-être possible d'arriver au même résultat de différentes façons, où nous récrivons les membres droits de la même manière. Parmi tous ces membres droits possibles, prenons en un tel que $n$ est le plus petit possible. En passant, $n \ge 1$, car sinon il aurait été possible d'obtenir un résultat uniquement par linéarité en partant de $u$ et de séries convergentes, ce qui signifie que $u$ devrait être une série convergente. | ||
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| + | Montrons par l'absurde que $a_0 \not= 1$. Nous obtenons donc l'équation $u = a_ne^n(u) + ... + a_1e^1(u) + e^0(u) + C$. Comme $e^0(u) = u$, nous pouvons soustraire $u$ des deux côtés de l'équation pour obtenir que $a_ne^n(u) + ... + a_1e^1(u) + C = 0$. Nous avons deux cas possibles : | ||
| + | * Si $a_n + ... + a_1 = 0$ alors en appliquant la stabilité nous avons que $(a_n + ... + a_1)\ell + C = 0$ donc la série convergente vaut $0$. Ainsi, l'équation $u = a_ne^n(u) + ... + a_1e^1(u) + e^0(u) + C$ donne que $\ell = 0 \times \ell + \ell + 0$, ce qui ne renseigne en rien sur la valeur de $\ell$. Or, c'était cette équation qui était censé nous donner un résultat. D'où une contradiction. | ||
| + | * Si $a_n + ... + a_1 \not= 0$ alors au moins l'un des $a_i$ est non nul. Soit $k$ le plus petit des $i$ tel que $a_i$ est non nul. Ainsi, nous obtenons une équation de la forme $a_ne^n(u) + ... + a_ke^k(u) + C = 0$ avec $k \ge 1$ et $a_k \not= 0$. Donc $e^k(u) = \frac{a_n}{a_k}e^n(u) + ... + \frac{a_{k+1}}{a_k}e^{k+1}(u) + \frac{C}{a_k}$. En notant $u' = e^k(u)$ et $C' = \frac{C}{a_k}$ nous obtenons une nouvelle équation : | ||
| + | $$u' = a_{n-k}e^{n-k}(u') + ... + a_1e^1(u') + C'$$ | ||
| + | Or, par stabilité $u' = u$, donc cette équation permet d'obtenir le résultat avec seulement $n-k < n$ applications de $e$, ce qui contredit la minimalité de $n$. | ||
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| + | (//Edit du 13/09 :// En faisant remonter $e^k$ au dessus des séries convergentes et de la linéarité, cela revient à dire que $e^k(u - (a_{n-k}e^{n-k}(u) + ... + a_1e^1(u) + C)) = 0$, donc en supposant que $e(v) = 0 \Rightarrow v = 0$, nous avons bien $u = a_{n-k}e^{n-k}(u) + ... + a_1e^1(u) + C'$, et c'est cela qui contredit la minimalité de $n$.) | ||
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| + | D'où $a_0 \not= 1$, et nous pouvons((Il n'est pas possible d'utiliser le même argument pour contredire la minimalité de $n$ à cause du $u$ au lieu du $0$ dans le membre de gauche.)) récrire l'équation : | ||
| + | $$u = a_ne^n(u) + ... + a_1e^1(u) + a_0e^0(u) + C$$ | ||
| + | $$(1 - a_0)u = a_ne^n(u) + ... + a_1e^1(u) + C$$ | ||
| + | $$u = \frac{a_n}{1 - a_0}e^n(u) + ... + \frac{a_1}{1 - a_0}e^1(u) + \frac{C}{1 - a_0}$$ | ||
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| + | Dit autrement, en renommant les variables et en récrivant l'équation : | ||
| + | $$u = a_ne^n(u) + ... + a_1e^1(u) + C$$ | ||
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| + | Ainsi, une telle suite est bien définie par récurrence linéaire. Il ne reste qu'à montrer par l'absurde que $a_n + ... + a_1 \not= 1$. En effet, si $a_n + ... + a_1 = 1$ alors par stabilité $\ell = 1 \times \ell + C$ donc $C = 0$. Nous avons donc uniquement $\ell = 1 \times \ell$, ce qui ne permet en rien de trouver le résultat. Or, c'était cette équation qui était censée nous donner le résultat. D'où la contradiction attendue. | ||
| - | Tiens, une preuve plus simple de la contradiction : | + | **Ainsi, à moins d'une erreur dans mon raisonnement, les séries divergentes sommables de façon unique par linéarité, stabilité et régularité sont précisément les suites définies par récurrence linéaire non barycentriques à une série convergente près.** |
| - | $$\sum\limits_{n \ge 0}n = 0 + \sum\limits_{n \ge 0}n+1 = \sum\limits_{n \ge 0}n + \sum\limits_{n \ge 0}1 \Rightarrow \sum\limits_{n \ge 0}1 = 0 \Rightarrow 1 = 1 + \sum\limits_{n \ge 0}1 = \sum\limits_{n \ge 0}1 = 0$$ | + | //Notez que je restreins les moyens utilisables, car pour moi la question est de pouvoir caractériser l'ensemble des séries divergentes donnant des valeurs cohérentes en utilisant exactement ces trois règles. L'appel constant au constructivisme de la réponse peut cependant surprendre, et je serai ravi d'en discuter dans les commentaires de la vidéo ;)// |