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vulgarisation:series-divergentes [2016/02/01 11:48] apeiron créée |
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| - | ====== Introduction ====== | ||
| - | Il y a beaucoup à dire historiquement sur le sujet, et je referai probablement l'article après l'avoir croisé avec des articles intéressants comme [[https://sciencetonnante.wordpress.com/2013/05/27/1234567-112/|Sciences étonnantes]] ou [[http://www.science4all.org/article/infinite-series|Science4All]], et surtout il faudrait que je lise l'ouvrage de référence de [[https://archive.org/details/divergentseries033523mbp|Hardy]]. Mais pour l'instant je souhaitais juste mettre au propre mes premières réflexions sur le sujet... | ||
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| - | Je vais partir du principe que les sommes infinies comme | ||
| - | $$\sum_{n \ge 0}\frac{1}{2^n} = 2$$ | ||
| - | ne vous font pas peur. Si c'est bien le cas, vous savez alors qu'ont dit qu'une somme $\sum x_n$ est dite convergente si la suite des sommes partielles est finie : | ||
| - | $$\lim\limits_{N \rightarrow \infty}\left(\sum_{n=0}^N x_n\right) < \infty$$ | ||
| - | C'est le cas par exemple de $\sum \frac{1}{2^n}$, puisque : | ||
| - | $$\lim\limits_{N \rightarrow \infty}\left(\sum_{n=0}^N \frac{1}{2^n}\right) = \lim\limits_{N \rightarrow \infty} \left(2 - \frac{1}{2^N}\right) =2$$ | ||
| - | Astuce : le calcul entre parenthèses est obtenu de façon générale pour toutes les [[https://fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_g%C3%A9om%C3%A9trique|séries géométriques]], c'est à dire les séries de la forme $\sum a \times r^n$ : | ||
| - | $$(1 - r) \times (a + ar + ar^2 + \dots + ar^N)$$ | ||
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| - | $a$ est un coefficient | ||
| - | la raison $r$ de la suite | ||
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| - | ====== Principes ====== | ||
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| - | Prenons l'exemple des [[https://fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_g%C3%A9om%C3%A9trique|séries géométriques]] | ||