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Table des matières

Introduction

Il y a beaucoup à dire historiquement sur le sujet, et je referai probablement l'article après l'avoir croisé avec des articles intéressants comme Sciences étonnantes ou Science4All, et surtout il faudrait que je lise l'ouvrage de référence de Hardy. Mais pour l'instant je souhaitais juste mettre au propre mes premières réflexions sur le sujet…

Bref retour sur les séries convergentes

Je vais partir du principe que les sommes infinies comme

$$\sum_{n \ge 0}\frac{1}{2^n} = 2$$

ne vous font pas peur. Si c'est bien le cas, vous savez alors qu'on dit qu'une série $\sum x_n$ est dite convergente si la suite des sommes partielles est finie :

$$\lim\limits_{N \rightarrow \infty}\left(\sum_{n=0}^N x_n\right) < \infty$$

C'est le cas par exemple de $\sum \frac{1}{2^n}$, puisque :

$$\lim\limits_{N \rightarrow \infty}\left(\sum_{n=0}^N \frac{1}{2^n}\right) = \lim\limits_{N \rightarrow \infty} \left(2 - \frac{1}{2^N}\right) =2$$

Astuce : le calcul entre parenthèses est obtenu de façon générale pour toutes les séries géométriques, c'est à dire les séries de la forme $\sum a \times r^n$ :

$$\[\begin{array}{r@{}l} (1 - r) \times (a + ar + ar^2 + \dots + ar^N) &{} = (a + ar + ar^2 + \dots + ar^N)\\ &{} \hspace{0.665cm} - (ar + ar^2 + \dots + ar^N + ar^{N+1})\\ &{} = a - ar^{N+1}\\ \end{array}\]$$

Donc si la raison $r$ de la suite est différente de $1$, nous avons :

$$a + ar + ar^2 + \dots + ar^N = a \times \frac{1 - r^{N+1}}{1 - r}$$

Donc en remplaçant $a = 1$ et $r = \frac{1}{2}$ dans l'expression, nous avons bien :

$$\sum_{n=0}^N \frac{1}{2^n} = \frac{1 - \frac{1}{2^{N+1}}}{1 - \frac{1}{2}} = 2 - \frac{1}{2^N}$$

En généralisant le raisonnement précédent (exercice ^^), on s'aperçoit que les séries géométriques sont convergentes si et seulement si $r < 1$.

Une série qui n'est pas convergente sera dite divergente. La question du jour est : peut-on quand même attribuer de manière raisonnable une valeur à des suites divergentes ?

Principes

Prenons l'exemple des séries géométriques