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vulgarisation:series-divergentes [2016/02/01 19:49] apeiron |
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| - | ====== Introduction ====== | ||
| - | Il y a beaucoup à dire historiquement sur le sujet, et je referai probablement l'article après l'avoir croisé avec des articles intéressants comme [[https://sciencetonnante.wordpress.com/2013/05/27/1234567-112/|Science étonnante]] ou [[http://www.science4all.org/article/infinite-series|Science4All]], et surtout il faudrait que je lise l'ouvrage de référence de [[https://archive.org/details/divergentseries033523mbp|Hardy]]. Mais pour l'instant je souhaitais juste mettre au propre mes premières réflexions sur le sujet... | ||
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| - | ====== Séries convergentes ====== | ||
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| - | {{ :vulgarisation:serie-geom.png?300 |}} | ||
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| - | Comme il y a déjà beaucoup à dire((Du coup je ferai peut-être un article ou une vidéo sur les séries convergentes, ça pourrait être intéressant...)), je vais partir du principe que les sommes infinies comme | ||
| - | $$\sum_{n \ge 0}\frac{1}{2^n} = 2$$ | ||
| - | ne vous font pas peur. Si c'est bien le cas, vous savez alors qu'on dit qu'une série $\sum x_n$ est dite **convergente** si la suite des sommes partielles est finie : | ||
| - | $$\lim\limits_{N \rightarrow \infty}\left(\sum_{n=0}^N x_n\right) < \infty$$ | ||
| - | C'est le cas par exemple de $\sum \frac{1}{2^n}$, puisque : | ||
| - | $$\lim\limits_{N \rightarrow \infty}\left(\sum_{n=0}^N \frac{1}{2^n}\right) = \lim\limits_{N \rightarrow \infty} \left(2 - \frac{1}{2^N}\right) =2$$ | ||
| - | Astuce : le calcul entre parenthèses est obtenu de façon générale pour toutes les [[https://fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_g%C3%A9om%C3%A9trique|séries géométriques]], c'est à dire les séries de la forme $\sum a \times r^n$ : | ||
| - | $$\[\begin{array}{r@{}l} | ||
| - | (1 - r) \times (a + ar + ar^2 + \dots + ar^N) &{} = (a + ar + ar^2 + \dots + ar^N)\\ | ||
| - | &{} \hspace{0.665cm} - (ar + ar^2 + \dots + ar^N + ar^{N+1})\\ | ||
| - | &{} = a - ar^{N+1}\\ | ||
| - | |||
| - | \end{array}\]$$ | ||
| - | |||
| - | Donc si la raison $r$ de la suite est différente de $1$, nous avons : | ||
| - | $$a + ar + ar^2 + \dots + ar^N = a \times \frac{1 - r^{N+1}}{1 - r}$$ | ||
| - | Donc en remplaçant $a = 1$ et $r = \frac{1}{2}$ dans l'expression, nous avons bien : | ||
| - | $$\sum_{n=0}^N \frac{1}{2^n} = \frac{1 - \frac{1}{2^{N+1}}}{1 - \frac{1}{2}} = 2 - \frac{1}{2^N}$$ | ||
| - | En généralisant le raisonnement précédent (exercice ^^), on s'aperçoit que les séries géométriques sont convergentes si et seulement si $|r| < 1$. | ||
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| - | Une série qui n'est pas convergente sera dite **divergente**. La question du jour est : peut-on quand même attribuer de manière raisonnable une valeur à des suites divergentes ? | ||
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| - | ====== Principes ====== | ||
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| - | J'ai pris le temps de discuter des séries géométriques car elles sont un exemple simple des opérations que l'on souhaite faire sur les séries. Nous avons obtenu $a - ar^{N+1}$ implicitement en réorganisant les termes, ce qui fonctionne bien s'il y a un nombre fini de termes, mais pas s'il y en a une infinité. Prenons la série suivante : | ||
| - | $$\sum_{n \ge 0}(-1)^n = 1 -1 +1 -1 + \dots$$ | ||
| - | Il est possible de la parenthéser de deux manières différentes pour obtenir une contradiction : | ||
| - | $$\[\begin{array}{r@{}l} | ||
| - | \sum\limits_{n \ge 0}(-1)^n &{} = (1 -1) +(1 -1) + \dots\\ | ||
| - | &{} = 0 + 0 + \dots\\ | ||
| - | &{} = 0\\ | ||
| - | |||
| - | \end{array}\]$$ | ||
| - | $$\[\begin{array}{r@{}l} | ||
| - | \sum\limits_{n \ge 0}(-1)^n &{} = 1 + (-1 +1) + (-1 +1) + \dots\\ | ||
| - | &{} = 1 + 0 + 0 + \dots\\ | ||
| - | &{} = 1\\ | ||
| - | |||
| - | \end{array}\]$$ | ||
| - | L'idée est donc de trouver un ensemble d'opérations sur les séries divergentes qui permette de trouver des valeurs pertinentes sans qu'il y ait contradiction. Comme nous voulons généraliser le travail déjà fait sur les séries convergentes, la moindre des choses serait que si nous appliquons nos opérations sur des séries convergentes, nous obtenions la même valeur qu'avec les sommes partielles. C'est l'axiome de **régularité** : | ||
| - | $$\lim\limits_{N \rightarrow \infty}\left(\sum_{n=0}^N x_n\right) = \ell < \infty \Rightarrow \sum_{n \ge 0} x_n = \ell$$ | ||
| - | Notez que j'utilise le même symbole $\sum$ pour la sommation classique et notre sommation sur les séries en général même si elles sont divergentes. En fait, nous cherchons une extension cohérente de $\sum$, et il serait plus rigoureux de le noter autrement, par exemple $\tilde{\sum}$. Mais nous ne voulons pas alourdir les notations par la suite, et si jamais nous parvenons au but à cause de l'axiome de régularité nous pourrons confondre les deux symboles. | ||
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| - | Nous avons vu que nous ne pouvions pas parenthéser les séries divergentes n'importe comment. Par la suite nous ne nous autoriserons qu'une seule réorganisation de terme : pouvoir extraire le premier terme. C'est à dire que nous respectons une structure de liste pour les séries, afin de correspondre à l'intuition de << pou obtenir le résultat, j'additionne le premier terme, puis le second, puis le troisième, etc. >>. Plus formellement, c'est l'axiome de **stabilité**, qui énonce que nous pouvons obtenir une (valeur pour) une nouvelle série $\sum y_n$ à partir d'une série $\sum x_n$ déjà définie telle que pour tout $n \in \mathbb{N}$ nous ayons $y_n = x_{n+1}$ et $\sum x_n = x_0 + \sum y_n$. Cela revient en fait à décaler la numérotation : | ||
| - | $$\sum_{n \ge 0}u_n = u_0 + \sum_{n \ge 1}u_n$$ | ||
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| - | Rien qu'à ce stade, ça coince. En effet, prenons la série $1+1+1+\dots$ : | ||
| - | $$\[\begin{array}{r@{}l} | ||
| - | \sum\limits_{n \ge 0}1 &{} = 1 +\sum_{n \ge 1}1\\ | ||
| - | &{} = 1 +\sum_{n \ge 0}1\\ | ||
| - | \end{array}\]$$ | ||
| - | Donc en soustrayant $\sum 1$ à gauche et à droite nous avons $0 = 1$. Ainsi, il n'est pas possible d'appliquer notre méthode à toutes les séries, mais il est peut-être possible de restreindre le champ d'étude de façon à avoir des résultats cohérents... Je propose de nous limiter aux séries vérifiant que si elles sont périodiques alors la somme des éléments de la période vaut $0$. Ainsi, nous éliminons $\sum 1$ mais nous gardons $\sum (-1)^n$ puisque $\sum (-1)^n = 1 -1 + \sum (-1)^n$. Plus formellement : | ||
| - | $$\exists p \left(\forall n \ x_{n+p} = x_n \Rightarrow \sum_{n<p}x_n = 0\right)$$ | ||
| - | |||
| - | Pour faire des calculs pratiques nous souhaitons aussi munir considérer les séries comme un espace vectoriel, c'est à dire de nous autoriser à multiplier une série par un coefficient, et pouvoir faire la somme entre deux sorts. Plus formellement, c'est l'axiome de **linéarité** : | ||
| - | $$\alpha \times \sum_{n \ge 0}u_n = \sum_{n \ge 0}(\alpha \times u_n)$$ | ||
| - | $$\sum_{n \ge 0}u_n + \sum_{n \ge 0}v_n = \sum_{n \ge 0}(u_n + v_n)$$ | ||
| - | |||
| - | En particulier, nous généralisons le raisonnement précédent sur les séries géométriques : | ||
| - | $$\[\begin{array}{r@{}ll} | ||
| - | \sum\limits_{n \ge 0}ar^n &{} = a + \sum\limits_{n \ge 1}ar^n&\text{(stabilité)}\\ | ||
| - | &{} = a + \sum\limits_{n \ge 0}ar^{n+1}\\ | ||
| - | &{} = a + r \times\sum\limits_{n \ge 0}ar^n &\text{(linéarité)}\\ | ||
| - | \end{array}\]$$ | ||
| - | Ainsi, en notant $G(a,r) = \sum\limits_{n \ge 0}ar^n$ nous avons $G(a,r) = a + r \times G(a,r)$, d'où si $r\not=1$ nous avons $G(a,r) = \frac{a}{1-r}$. Il est à noter que si $r=1$ alors $G(a,r)$ viole notre supposition sur la périodicité puisque nous retrouvons notre meilleure ennemie $G(a,1) = \sum\limits_{n \ge 0}a1^n = a \times\sum\limits_{n \ge 0}1$. | ||
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| - | Le résultat $G(a,r) = \frac{a}{1-r}$ est effectivement le résultat obtenu pour les séries géométriques convergentes (pour $|r| < 1$), donc il vérifie la propriété de régularité. De façon amusante, comme $\sum\limits_{n=0}^N ar^n = a \times \frac{1 - r^{N+1}}{1 - r}$, cela revient à juste ignorer le terme infini pour la limite des sommes partielles. | ||
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| - | De plus, cette formule nous donne maintenant des résultats pour les séries géométriques divergentes (pour $|r| > 1$), par exemple pour $a=1$ et $r=2$: | ||
| - | $$\sum_{n \ge 0}2^n = -1$$ | ||
| - | Une somme infinie d'entiers positifs donnerait un résultat négatif ?! Mais le pire est à venir, puisque notre but est de prouver que : | ||
| - | $$1+2+3+4+5+\dots = \frac{-1}{12}$$ | ||
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| - | ====== Quelques calculs ====== | ||
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| - | Pourquoi cette valeur, qui en plus d'être négative a le mauvais goût d'être une fraction ? ^^ Il y a des raisons physiques, voir par exemple [[https://sciencetonnante.wordpress.com/2015/09/11/leffet-casimir-et-le-retour-de-12345-112|l'article de Science Étonnante sur l'effet Casimir]], mais ici je vais m'attarder sur les raisons mathématiques. Commençons plus doucement pour la [[https://fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_de_Grandi|Grandi]] $S_1 = \sum\limits_{n \ge 0}(-1)^n$ pour laquelle nous avions maladroitement donné les valeurs $0$ et $1$ : | ||
| - | $$\[\begin{array}{r@{}l} | ||
| - | S_1 | ||
| - | &{} = \sum\limits_{n \ge 0}(-1)^n\\ | ||
| - | &{} = 1 + \sum\limits_{n \ge 1}(-1)^n\\ | ||
| - | &{} = 1 + \sum\limits_{n \ge 0}(-1)^{n+1}\\ | ||
| - | &{} = 1 - \sum\limits_{n \ge 0}(-1)^n\\ | ||
| - | &{} = 1 - S_1\\ | ||
| - | \end{array}\]$$ | ||
| - | Comme $S_1 = 1 - S_1$ donc la bonne valeur n'est pas $0$ ou $1$, mais entre les deux : | ||
| - | $$\boxed{1 - 1 + 1 - 1 + \dots = \frac{1}{2}}$$ | ||
| - | |||
| - | Passons à une autre : la [[https://fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_altern%C3%A9e_des_entiers|série alternée des entiers]] $S_2 = \sum\limits_{n \ge 0}n(-1)^{n+1}$. En utilisant la série précédente, nous avons que : | ||
| - | $$\[\begin{array}{r@{}l} | ||
| - | S_2 - S_1 | ||
| - | &{} = \sum\limits_{n \ge 0}n(-1)^{n+1} - \sum\limits_{n \ge 0}(-1)^n\\ | ||
| - | &{} = \sum\limits_{n \ge 0}\left(n(-1)^{n+1} - (-1)^n\right)\\ | ||
| - | &{} = \sum\limits_{n \ge 0}(n+1)(-1)^{n+1}\\ | ||
| - | &{} = \sum\limits_{n \ge 0}n(-1)^n\\ | ||
| - | &{} = - S_2\\ | ||
| - | \end{array}\]$$ | ||
| - | Comme $S_2 - \frac{1}{2} = - S_2$ nous avons : | ||
| - | $$\boxed{1 -2 +3 -4 +\dots = \frac{1}{4}}$$ | ||
| - | En passant, il est possible de définir le [[https://fr.wikipedia.org/wiki/Produit_de_Cauchy|produit]] entre deux séries par : | ||
| - | $$\left(\sum\limits_{n \ge 0}x_n\right)\left(\sum\limits_{n \ge 0}y_n\right) = \sum\limits_{n \ge 0}z_n$$ | ||
| - | par $z_n = \sum\limits_{k = 0}^nx_ky_{n-k}$. Ainsi, une preuve alternative (mais dépassant nos règles précédentes) consiste à remarquer que le produit de $S_1$ par lui-même donne une série avec les coefficients suivants : | ||
| - | $$\[\begin{array}{r@{}l} | ||
| - | z_n | ||
| - | &{} = \sum\limits_{k = 0}^n(-1)^k(-1)^{n-k}\\ | ||
| - | &{} = \sum\limits_{k = 0}^n(-1)^n\\ | ||
| - | &{} = (n+1)(-1)^n\\ | ||
| - | \end{array}\]$$ | ||
| - | D'où le produit a comme valeur : | ||
| - | $$\[\begin{array}{r@{}l} | ||
| - | S_1 \times S_1 | ||
| - | &{} = \sum\limits_{n \ge 0}(n+1)(-1)^n\\ | ||
| - | &{} = \sum\limits_{n \ge 0}(n+1)(-1)^{n+2}\\ | ||
| - | &{} = 0 + \sum\limits_{n \ge 1}n(-1)^{n+1}\\ | ||
| - | &{} = \sum\limits_{n \ge 0}n(-1)^{n+1}\\ | ||
| - | &{} = S_2\\ | ||
| - | \end{array}\]$$ | ||
| - | Ainsi, nous retrouvons par un autre moyen que $S_2 = S_1 \times S_1 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$. | ||