Différences
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vulgarisation:series-divergentes [2016/02/01 12:44] apeiron |
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| - | ====== Introduction ====== | ||
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| - | Il y a beaucoup à dire historiquement sur le sujet, et je referai probablement l'article après l'avoir croisé avec des articles intéressants comme [[https://sciencetonnante.wordpress.com/2013/05/27/1234567-112/|Sciences étonnantes]] ou [[http://www.science4all.org/article/infinite-series|Science4All]], et surtout il faudrait que je lise l'ouvrage de référence de [[https://archive.org/details/divergentseries033523mbp|Hardy]]. Mais pour l'instant je souhaitais juste mettre au propre mes premières réflexions sur le sujet... | ||
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| - | ====== Séries convergentes ====== | ||
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| - | {{ :vulgarisation:serie-geom.png?300 |}} | ||
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| - | Je vais partir du principe que les sommes infinies comme | ||
| - | $$\sum_{n \ge 0}\frac{1}{2^n} = 2$$ | ||
| - | ne vous font pas peur. Si c'est bien le cas, vous savez alors qu'on dit qu'une série $\sum x_n$ est dite **convergente** si la suite des sommes partielles est finie : | ||
| - | $$\lim\limits_{N \rightarrow \infty}\left(\sum_{n=0}^N x_n\right) < \infty$$ | ||
| - | C'est le cas par exemple de $\sum \frac{1}{2^n}$, puisque : | ||
| - | $$\lim\limits_{N \rightarrow \infty}\left(\sum_{n=0}^N \frac{1}{2^n}\right) = \lim\limits_{N \rightarrow \infty} \left(2 - \frac{1}{2^N}\right) =2$$ | ||
| - | Astuce : le calcul entre parenthèses est obtenu de façon générale pour toutes les [[https://fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_g%C3%A9om%C3%A9trique|séries géométriques]], c'est à dire les séries de la forme $\sum a \times r^n$ : | ||
| - | $$\[\begin{array}{r@{}l} | ||
| - | (1 - r) \times (a + ar + ar^2 + \dots + ar^N) &{} = (a + ar + ar^2 + \dots + ar^N)\\ | ||
| - | &{} \hspace{0.665cm} - (ar + ar^2 + \dots + ar^N + ar^{N+1})\\ | ||
| - | &{} = a - ar^{N+1}\\ | ||
| - | |||
| - | \end{array}\]$$ | ||
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| - | Donc si la raison $r$ de la suite est différente de $1$, nous avons : | ||
| - | $$a + ar + ar^2 + \dots + ar^N = a \times \frac{1 - r^{N+1}}{1 - r}$$ | ||
| - | Donc en remplaçant $a = 1$ et $r = \frac{1}{2}$ dans l'expression, nous avons bien : | ||
| - | $$\sum_{n=0}^N \frac{1}{2^n} = \frac{1 - \frac{1}{2^{N+1}}}{1 - \frac{1}{2}} = 2 - \frac{1}{2^N}$$ | ||
| - | En généralisant le raisonnement précédent (exercice ^^), on s'aperçoit que les séries géométriques sont convergentes si et seulement si $r < 1$. | ||
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| - | Une série qui n'est pas convergente sera dite **divergente**. La question du jour est : peut-on quand même attribuer de manière raisonnable une valeur à des suites divergentes ? | ||
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| - | ====== Principes ====== | ||
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| - | J'ai pris le temps de discuter des séries géométriques car elles sont un exemple simple des opérations que l'on souhaite faire sur les séries. Nous avons obtenu $a - ar^{N+1}$ implicitement en réorganisant les termes, ce qui fonctionne bien s'il y a un nombre fini de termes, mais pas s'il y en a une infinité. Prenons la série suivante : | ||
| - | $$\sum_{n \ge 0}(-1)^n = 1 -1 +1 -1 + \dots$$ | ||
| - | Il est possible de la parenthéser de deux manières différentes pour obtenir une contradiction : | ||
| - | $$\[\begin{array}{r@{}l} | ||
| - | \sum_{n \ge 0}(-1)^n &{} = (1 -1) +(1 -1) + \dots\\ | ||
| - | &{} = 0 + 0 + \dots\\ | ||
| - | &{} = 0\\ | ||
| - | |||
| - | \end{array}\]$$ | ||
| - | $$\[\begin{array}{r@{}l} | ||
| - | \sum_{n \ge 0}(-1)^n &{} = 1 + (-1 +1) + (-1 +1) + \dots\\ | ||
| - | &{} = 1 + 0 + 0 + \dots\\ | ||
| - | &{} = 1\\ | ||
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| - | \end{array}\]$$ | ||
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