Un polygone (du plan) est dit régulier si tous ses côtés ont la même longueur et tous ses angles ont la même valeur. Par exemple, un triangle équilatéral est régulier mais pas un triangle rectangle, et un carré est régulier contrairement à un rectangle ou un losange.

Les polygones réguliers vérifient des propriétés de symétrie qui les rendent « jolis », par exemple ils peuvent être inscrits dans un cercle, et en tournant le polygone de degré (où est le nombre de côtés) on retombe sur la même figure. Autre propriété intéressante : ils sont leur propre dual, c'est à dire que si on inverse les arêtes et les sommets alors on retombe sur la même figure :

Les exemples donnés précédemment sont tous convexes, c'est à dire vérifiant que si et sont deux points du polygone alors le segment est inclus dans le polygone, mais ce n'est pas forcément le cas. Les polygones non-convexes sont appelés « étoilés » vu leur forme, par exemple le pentagramme est la version étoilée du pentagone.

En dehors du triangle équilatéral et du carré, un polygone est nommé selon un préfixe grec donnant son nombre de côtés (penta, hexa, hepta…) et une terminaison en -gone s'il est convexe et -gramme s'il est étoilé. Ce nom caractérise bien les convexes car il n'existe qu'un seul polygone régulier convexe de côté donné, mais pas les étoilés : il peut y avoir différents polygones réguliers étoilés ayant le même nom. Par exemple, voici l'heptagone (en rouge) et les deux heptagrammes (en bleu et en vert) :

Quittons à présent le plan et passons à l'espace…

Un polyèdre (de l'espace) est dit régulier si ses faces sont régulières (des polygones réguliers) et uniformes (toutes les mêmes) et si ses sommets sont uniformes (ont le même nombre d'arêtes selon les mêmes angles). Alors qu'il existe une infinité de polygones réguliers convexes (un par nombre de côtés), il n'existe que cinq polyèdres réguliers convexes : ce sont les solides de Platon.

Les rôlistes parmi vous auront reconnu les dés classiques¹⁾ à , , , et faces. La preuve qu'il n'y a pas d'autre polyèdre régulier convexe est plutôt simple, et je trouve que Mickaël Launay de Micmaths l'a montrée de façon assez pédagogique et visuelle dans cette vidéo, donc je vous conseille d'y jeter un œil.

La notion de dualité s'applique également aux polyèdres, en échangeant les faces avec les sommets. Prenons l'exemple du cube : chaque face est reliée à quatre autres faces, donc dans le dual du cube chaque sommet sera relié à quatre sommets, et comme chaque sommet du cube est relié à trois sommets, les faces du dual seront des triangles. Et effectivement, le dual du cube (6 faces, 8 sommets) est l'octaèdre (8 faces, 6 sommets). De la même façon, le dual du dodécaèdre (12 faces, 20 sommets) est l'icosaèdre (20 faces, 12 sommets) , et le tétraèdre (4 faces, 4 sommets) est son propre dual.

Aux cinq solides de Platon il faut ajouter les solides de Kepler-Poinsot qui sont les polyèdres étoilés réguliers. Il y en a quatre :

Notez que le petit dodécaèdre étoilé (12 faces et 12 sommets) est le dual du grand dodécaèdre, alors que le grand dodécaèdre étoilé (12 faces et 20sommets) est le dual du grand icosaèdre (20 faces et 12 sommets). Mais bon, difficile de construire de tels solides et a fortiori d'en faire des dés, donc par la suite nous nous intéresserons seulement aux polyèdres convexes.

En éliminant les polyèdres étoilés, nous n'aurions donc que cinq dés possibles qui soient jolis ? Si par « joli » nous voulons dire qu'ils doivent être uniformes pour leurs faces et leurs sommets, c'est à dire que toutes les faces doivent être le même polygone et que de chaque sommet partent le même nombre d'arêtes selon les mêmes angles, alors effectivement seuls les solides de Platon correspondent à ces critères. Mais il est possible de trouver d'autres polyèdres avec des propriétés intéressantes…

Par exemple, les solides d'Archimède ont des sommets uniformes mais pas des faces uniformes. Il existe treize (quinze si on distingue un solide de son reflet dans le miroir) solides d'Archimède, mais il n'y en a que deux qui ont des arêtes uniformes (de la même longueur et reliant des sommets deux à deux uniformes) : le cuboctaèdre et l'icosidodécaèdre (cliquez pour les voir tourner).

En prenant les duaux des solides d'Archimède nous obtenons les solides de Catalan. Comme la dualité inverse les faces et les sommets, nous avons que les faces sont uniformes mais pas les sommets. Par contre, cela a déformé les faces, qui ne sont malheureusement plus des polygones réguliers. Comme la dualité préserve la réflexion, nous avons encore treize solides, et quinze en distinguant un solide de son reflet. Là encore, il n'y a que deux solides qui ont des arêtes uniformes : le dodécaèdre rhombique et le triacontaèdre rhombique.

Et arrivé à ce stade, il est satisfaisant de constater que le cuboctaèdre (14 faces et 12 sommets) est le dual du dodécaèdre rhombique (12 faces et 14 sommets), et que l'icosidodécaèdre (32 faces et 30 sommets) est le dual du triacontaèdre rhombique (30 faces et 32 sommets). En fait, il n'existe que neuf polyèdres convexes à arêtes uniformes : les cinq solides de Platon, et nos quatre nouveaux amis. Donc aux cinq dés classiques à , , , et faces, je voudrais rajouter quatre autres dés « jolis » : un nouveau dé à faces, un dé à faces, un dé à faces et un dé à faces.

Note : Ils sont jolis dans leur apparence et mathématiquement parlant, mais en terme de game-design il faut cependant avouer que ce n'est pas folichon. En effet, nous avons déjà un dé à 12 face, un dé à 14 faces peut avoir un (faible) intérêt, un dé à 30 ou 32 faces peut être intéressant, mais par contre la différence entre un dé à 30 faces et un dé à 32 faces n'est pas très flagrante…

De plus, comme le cuboctaèdre et l'icosidodécaèdre ont des faces différentes, il serait douteux que le dé soit équilibré. En fait, cela éliminerait tous les solides d'Archimède²⁾. Il faudrait vérifier si le dodécaèdre rhombique et le triacontaèdre rhombique eux sont équilibrés, car cela ferait alors une propriété intéressante n'étant pas respectée par dualité…

Il est possible de remplir tout l'espace sans laisser de trou en empilant des cubes : c'est ce qu'on appelle un pavage de l'espace³⁾. D'après cet article, le mathématicien Russe Fedorov aurait montré qu'il n'existerait que cinq polyèdres réguliers ou semi-réguliers (ne pas confondre avec quasi-réguliers) capables de paver l'espace : le cube, le prisme hexagonal, l'octaèdre tronqué, le dodécaèdre allongé, et notre ami le dodécaèdre rhombique.

Du coup, il n'y a que deux pavages de l'espace qui soient uniformes pour les sommets (voir cet article) : celui par les cubes et celui par les dodécaèdres rhombiques. D'ailleurs, ces deux pavages sont duaux. Le cube pave l'espace car il est une projection par face de l'hypercube et le dodécaèdre rhombique pave le plan car il est une projection par sommet de l'hypercube, de la même façon que le carré pave le plan car il est une projection par face du cube et que l'hexagone pave le plan car il est une projection par sommet du cube.

Ainsi, notre nouveau dé à faces est plus amusant pour l'empilage de dés… Enfin, notez que de façon intéressante, la version étoilée du dodécaèdre rhombique est également un pavage de l'espace…