Différences
Ci-dessous, les différences entre deux révisions de la page.
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vulgarisation:apeiron [2015/12/11 12:36] apeiron |
vulgarisation:apeiron [2016/04/25 14:24] apeiron supprimée |
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| - | //En cours d'écriture...// | ||
| - | |||
| Avant internet, nous avions seulement des noms de naissance, des surnoms donnés par les autres, et éventuellement des titres honorifiques. Il fallait être écrivain pour avoir un nom de plume, acteur pour avoir un nom de scène, ou clandestin pour avoir un nom de code. | Avant internet, nous avions seulement des noms de naissance, des surnoms donnés par les autres, et éventuellement des titres honorifiques. Il fallait être écrivain pour avoir un nom de plume, acteur pour avoir un nom de scène, ou clandestin pour avoir un nom de code. | ||
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| ====== Le mot ====== | ====== Le mot ====== | ||
| - | Infini potentiel vs Infini actuel... | + | //Plus tard...// |
| ====== Le logo ====== | ====== Le logo ====== | ||
| Ligne 62: | Ligne 60: | ||
| \text{où } t \in [0,2\pi[ | \text{où } t \in [0,2\pi[ | ||
| \right.$$ | \right.$$ | ||
| + | |||
| + | Un objet plat serait très lisible mais trop triste... Or, l'infini est aussi parfois associé au ruban de Möbius, qui est un objet à la fois simple et mystérieux, donc emblématique... | ||
| ===== Le ruban de Möbius ===== | ===== Le ruban de Möbius ===== | ||
| Ligne 87: | Ligne 87: | ||
| \text{où } t \in [0,2\pi[, u \in [-1,1] | \text{où } t \in [0,2\pi[, u \in [-1,1] | ||
| \right.$$ | \right.$$ | ||
| + | |||
| + | Notez que si on avait $\cos t$ au lieu de $\cos \frac{t}{2}$ le ruban serait tourné deux fois sur lui-même, et le ruban aurait alors deux faces comme un ruban normal. Avec cette équation paramétrique nous obtenons la figure suivante : | ||
| + | |||
| + | {{ :vulgarisation:moebius-strip-1.png?400 |}} | ||
| + | |||
| + | Cette image a été obtenue avec le code suivant : | ||
| + | |||
| + | <file> | ||
| + | \documentclass[border=10pt]{standalone} | ||
| + | \usepackage{pgfplots} | ||
| + | \pgfplotsset{width=7cm,compat=1.8} | ||
| + | % Code written by Jake on TeX.SE. | ||
| + | |||
| + | \begin{document} | ||
| + | |||
| + | \begin{tikzpicture} | ||
| + | \begin{axis}[ | ||
| + | hide axis, | ||
| + | view = {40}{40} | ||
| + | ] | ||
| + | \addplot3 [ | ||
| + | surf, | ||
| + | colormap/greenyellow, | ||
| + | shader = faceted interp, | ||
| + | point meta = x, | ||
| + | samples = 40, | ||
| + | samples y = 5, | ||
| + | z buffer = sort, | ||
| + | domain = 0:360, | ||
| + | y domain =-0.5:0.5 | ||
| + | ] ( | ||
| + | {(1+0.5*y*cos(x/2)))*cos(x)}, | ||
| + | {(1+0.5*y*cos(x/2)))*sin(x)}, | ||
| + | {0.5*y*sin(x/2)} | ||
| + | ); | ||
| + | \addplot3 [ | ||
| + | samples=50, | ||
| + | domain=-145:180, | ||
| + | % The domain needs to be adjusted manually, | ||
| + | % depending on the camera angle, unfortunately | ||
| + | samples y=0, | ||
| + | thick | ||
| + | ] ( | ||
| + | {cos(x)}, | ||
| + | {sin(x)}, | ||
| + | {0} | ||
| + | ); | ||
| + | \end{axis} | ||
| + | \end{tikzpicture} | ||
| + | |||
| + | \end{document} | ||
| + | </file> | ||
| ===== Le code final ===== | ===== Le code final ===== | ||
| - | Échange sin / cos | + | Je voudrais un ruban de Möbius qui s'enroulerait suivant la trajectoire de la lemniscate, et non un cercle. Il suffit donc de reprendre l'équation paramétrique du ruban de Möbius en remplaçant $\cos t$ par $\frac{\cos t}{1 + \sin^2 t}$ dans $x(t)$, et $\sin t$ par $\frac{\cos t \sin t}{1 + \sin^2 t}$ dans $y(t)$. Nous obtenons donc l'équation paramétrique suivante : |
| $$\left\{ | $$\left\{ | ||
| \begin{array}{r@{}l} | \begin{array}{r@{}l} | ||
| - | x(t) &{} = \frac{\sin t}{1 + \cos^2 t} \\ | + | x(t) &{} = (1+u\cos \frac{t}{2})\frac{\cos t}{1 + \sin^2 t} \\ |
| - | y(t) &{} = \frac{\sin t \cos t}{1 + \cos^2 t} \\ | + | y(t) &{} = (1+u\cos \frac{t}{2})\frac{\cos t \sin t}{1 + \sin^2 t} \\ |
| + | z(t) &{} = u\sin \frac{t}{2}\\ | ||
| \end{array} | \end{array} | ||
| - | \text{où } t \in [0,2\pi[ | + | \text{où } t \in [0,2\pi[, u \in [-0.5,0.5] |
| \right.$$ | \right.$$ | ||
| + | Malheureusement, la figure n'est pas très jolie : | ||
| + | |||
| + | {{ :vulgarisation:essai-1.png?400 |}} | ||
| + | |||
| + | Déjà, la largeur du ruban est trop grande, ce qui laisse trop peu d'espace pour voir les espaces centraux. Je la divise donc par deux. Mais surtout le << plat >> du ruban est sur le coté, alors que je l'aurais voulu au centre. Cela revient à décaler la progression du bâton tournant de $\frac{\pi}{2}$. Plutôt que de rajouter des constantes, je me suis contenté d'échanger les sinus et cosinus dans la lemniscate : | ||
| + | |||
| + | $$\left\{ | ||
| + | \begin{array}{r@{}l} | ||
| + | x(t) &{} = (1+u\cos \frac{t}{2})\frac{\sin t}{1 + \cos^2 t} \\ | ||
| + | y(t) &{} = (1+u\cos \frac{t}{2})\frac{\sin t \cos t}{1 + \cos^2 t} \\ | ||
| + | z(t) &{} = u\sin \frac{t}{2}\\ | ||
| + | \end{array} | ||
| + | \text{où } t \in [0,2\pi[, u \in [-0.25,0.25] | ||
| + | \right.$$ | ||
| + | |||
| + | {{ :vulgarisation:final-1.png?400 |}} | ||
| + | |||
| + | Ah, voilà qui est mieux ! :) | ||
| + | |||
| + | Comme le but est de faire un logo, il reste plusieurs petites choses à faire : | ||
| + | * Rendre les polygones (basés sur des [[https://fr.wikipedia.org/wiki/Courbe_de_B%C3%A9zier|courbes de Bézier]]) invisibles, pour cela il suffit d'enlever le "faceted" dans les options. | ||
| + | * Personnaliser les couleurs du dégradé. Là encore, c'est assez facile vu les options disponibles. Il suffit de définir les positions de couleurs de référence, et il s'occupe tout seul du dégradé. J'ai choisi bleu-noir-bleu, car le bleu est ma couleur préférée et que le noir au centre m'évoque un trou noir mystérieux là où se produit le repliement du ruban... | ||
| + | * Sur dokuwiki et YouTube les logos sont carrés. Comme je ne souhaite pas déformer l'image, le plus simple est de créer un carré blanc et d'insérer l'image au centre. | ||
| + | * Lisser les courbes. Pour cela il suffit d'augmenter le nombre de points, mais bien sûr cela augmente le temps de compilation. Pour le logo final j'ai poussé $\LaTeX$ dans ses derniers retranchements (au dessus il crashe), mais dans le code suivant j'ai gardé une précision assez faible pour que vous puissiez compiler rapidement : | ||
| + | |||
| + | <file> | ||
| + | \documentclass{standalone} | ||
| + | \usepackage{pgfplots} | ||
| + | \pgfplotsset{width=7cm,compat=1.8} | ||
| + | |||
| + | \begin{document} | ||
| + | |||
| + | \begin{tikzpicture} | ||
| + | \fill[white] (-3,-3) -- (-3,3) -- (3,3) -- (3,-3) -- cycle; | ||
| + | \draw (0,0) node{ | ||
| + | |||
| + | \begin{tikzpicture} | ||
| + | \begin{axis}[ | ||
| + | hide axis, | ||
| + | view = {0}{60} | ||
| + | ] | ||
| + | \addplot3 [ | ||
| + | surf, | ||
| + | colormap={nuanceBleu}{color(0cm)=(blue); color(1.5cm)=(black); color(3cm)=(blue)}, | ||
| + | shader = interp, | ||
| + | point meta = x, | ||
| + | samples = 40, | ||
| + | samples y = 10, | ||
| + | z buffer = sort, | ||
| + | domain = 0:360, | ||
| + | y domain =-0.25:0.25 | ||
| + | ] ( | ||
| + | {(1+y*cos(x/2)))*sin(x)/(1+cos(x)^2)}, | ||
| + | {(1+y*cos(x/2)))*sin(x)*cos(x)/(1+cos(x)^2)}, | ||
| + | {y*sin(x/2)} | ||
| + | ); | ||
| + | \end{axis} | ||
| + | \end{tikzpicture} | ||
| + | |||
| + | }; | ||
| + | \end{tikzpicture} | ||
| + | |||
| + | \end{document} | ||
| + | </file> | ||
| + | |||
| + | Et bien sûr vous pouvez voir le résultat final en haut à gauche de la page ^^ | ||