Table des matières

Cette page regroupe mes anciens projets de recherche, qu'ils soient terminés ou non.

Théorèmes de Gödel

Comme j'étais alors en quête des fondements de la connaissance mon projet de licence porta sur la logique mathématiques, et particulièrement les théorèmes de Gödel : théorème de complétude et les deux théorèmes d'incomplétude.

Le travail était fait en collaboration avec le professeur Martin Andler de l'Université Versailles Saint-Quentin en Yvelines et basée sur les deux tomes de l'ouvrage « Logique mathématique » de René Cori et Daniel Lascar :

  1. Calcul propositionnel, algèbres de Boole, calcul des prédicats
  2. Fonctions récursives, théorème de Gödel, théorie des ensembles

Et j'ai eu la satisfaction de présenter mon exposé à René Cori, maître de conférences à l'Université Paris Diderot, qui m'a suggéré ensuite de faire le master LMFI : Logique Mathématique et Fondements de l'Informatique.

Ce travail m'a introduit à la calculabilité, aux structures du premier ordre utilisées dans les ASMs de Gurevich et donc dans mes travaux sur les modèles de calcul séquentiels et parallèles, ainsi qu'aux systèmes de preuve qui m'ont servi pour mes travaux sur lse preuves de correction.

Résolvante de Galois

Ce travail sur la théorie de Galois m'a intéressé pour comprendre pourquoi les équations polynomiales de degré quelconque ne sont pas toujours résolubles, et m'a donné les base pour comprendre certains concepts comme la théorie de Galois des algorithmes.

Versions

Voici notre brouillon s'attardant davantage sur l'histoire des mathématiques.

Voici une synthèse mieux rédigée et focalisée sur la caractérisation du groupe de Galois.

Le projet

Ce que nous appelons aujourd'hui la « théorie de Galois » est l'étude des extensions de corps commutatifs par des « groupes de Galois », c'est à dire les ensembles d'automorphismes d'une extension laissant invariant le corps de base. Cette théorie s'est avérée fertile pour beaucoup de domaines1), mais le degré d'abstraction actuel cache l'extrême simplicité de la théorie initiale.

Mon camarade Raoul Martin et moi avons fait notre projet de première année de master en 2009-2010 sous la direction du professeur Vincent Cossart à l'Université Versailles Saint-Quentin en Yvelines, en étudiant directement le manuscrit de Galois. Le but était double : d'une part en formaliser les résultats avec des notations modernes tout en s'en tenant à la fascinante simplicité de la preuve initiale. D'autre part, à cause de la mort tragique de Galois son manuscrit est resté inachevé, donc nous avons dû reconstruire les preuves manquantes selon les outils disponibles et en essayant de garder l'esprit de la preuve initiale. Notre rapport a été suffisamment apprécié pour que nous soyons invités à parler durant les Journées Mathématiques des 20 ans de l'UVSQ2).

Contexte historique

Le problème initial est de chercher à exprimer les racines d'un polynôme $P$ à coefficients dans un corps $K$ (par exemple $\mathbb{Q}$ l'ensemble des rationnels) par une combinaison de fonctions élémentaires\footnote{Addition, soutraction, multiplication, division et les racines carrées, cubiques, etc.} et des coefficients du polynôme. Si cela est possible l'équation $P(x) = 0$ sera dite « résoluble par radicaux ». Par exemple :

$$\begin{array}{r@{}l} ax^2 + bx + c = 0 &{}\Leftrightarrow (x + b/2a)^2 = (b^2 - 4ac)/(2a)^2\\ &{}\Leftrightarrow x = \frac{- b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\\ \end{array}$$

Ainsi, une équation polynomiale du second degré est toujours résoluble par radicaux, comme l'a montré Al-Khwârizmî au IXème siècle. Au XVIème siècle, Tartaglia, Cardano et Ferrari généralisèrent ce résultat aux degrés $3$ et $4$. La question des degrés supérieurs est restée ouverte jusqu'à ce qu'Abel prouve que tous l'équation de degré $5$ n'est pas toujours résoluble par radicaux. De façon indépendante, Galois a montré dans son manuscrit un résultat plus général : une équation polynomiale est résoluble par radicaux si et seulement si son groupe de Galois est résoluble.

Esquisse de la preuve

Notre travail a consisté à construire le groupe de Galois en utilisant les outils de Galois.

Soit $n \ge 2$ le degré du polynôme, et $x_1,\dots,x_n$ ses racines. Soit $E = \{x_1,\dots,x_n\}$. Nous montrons tout d'abord qu'il existe une application $\varphi : E^n \rightarrow K[x_1, \dots, x_n]$ telle que si $(y_1, \dots, y_n)$ et $(z_1, \dots, z_n)$ sont des n-uplets distincts de $E^n$, alors $\varphi(y_1, \dots, y_n) \neq \varphi(z_1, \dots, z_n)$. L'application $\varphi$ est appelée la résolvante de Galois. Nous prouvons que $V = \varphi(x_1, \dots, x_n)$ est un élément primitif, c'est à dire que $K[V]$ est un corps et que $K[x_1, \dots, x_n] = K[V]$. En particulier, pour tout $1 \le i \le n$ nous avons qu'il existe une fonction rationnelle $f_i$ telle que $x_i = f_i(V)$.

Soit $Q$ le polynôme minimal de $V$ sur $K$, et $V = V_1, \dots, V_m$ ses racines. Nous prouvons d'une part que pour chacune de ces racines, $V_k = \varphi(f_1(V_k), \dots, f_n(V_k))$, et d'autre part qu'à $k$ fixé, $(f_1(V_k), \dots, f_n(V_k))$ est une permutation des racines de $P$. Donc, pour chaque $V_k$ il existe une permutation $\sigma \in S_n$ telle que $V_k = \varphi(f_{\sigma(1)}(V), \dots, f_{\sigma(n)}(V))$. Nous définissons donc le groupe de Galois par :

$$Gal(P,\varphi) = \{\sigma \in S_n\ |\ Q\left(\varphi(f_{\sigma(1)}(V), \dots, f_{\sigma(n)}(V))\right) = 0\}$$

Nous montrons, d'une part que le groupe de Galois est bien un groupe, et d'autre part qu'il est le plus grand groupe vérifiant que pour tout $F \in K[X_1, \dots, X_n]$, si $F(x_1, \dots, x_n) = 0$ alors $F(x_{\sigma(1)}, \dots, x_{\sigma(n)}) = 0$. Ainsi, $Gal(P,\varphi)$ ne dépend que de $P$. C'est bien le groupe de Galois associé à l'extension où l'on a ajouté les racines de $P$.

1) Théorie des équations algébriques, théorie algébrique des nombres, théorie des corps, théorie de Galois inverse, théorie de Galois différentielle, géométrie algébrique, cryptographie, etc.
2) Davantage d'informations peuvent être trouvées sur le site dédié.